En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción, que tiene por denominador a 100.  Su símbolo del porcentaje es (%);  y  sirve para indicar,  “de cada 100 unidades”; tanto hay de dicho número. Por esa razón también se le conoce con el nombre del “tanto por ciento”
Es decir, que nos sirve para definir relaciones, entre dos cantidades.
Veamos ahora  las distintas formas que podemos enfocar los porcentajes:

UN PORCENTAJE,  ES UN
A FRACCIÓN DEL TOTAL:

Sabemos que:
“a%”: significa que de cada 100 unidades, tomamos “a”
Ejemplo:

Si buscamos calcular el “a%” de una cantidad “C” (a% de C):
  • Se pone primero el tanto por ciento como fracción.

  • Y luego se calcula esa fracción de la cantidad:
Ejemplo 1:
Hallar el 35% de 350.
Solución:

Como se puede apreciar en el ejemplo;  el término “de” o “del”,  implica multiplicación
Ejemplo 2:
Hallar el 15% de 650 + 25% de 650
Solución:
En este ejemplo, notamos que el número 650 es común a ambos sumando, con lo cual podemos factorizar.
Luego tenemos:

En resumen; sólo se puede sumar o restar porcentajes de una misma cantidad.

UN PORCENTAJE,  SUPONE UNA RELACIÓN DE PROPORCIÓN:

Al tomar un mismo tanto por ciento de distintas cantidades, observamos que el total y la parte tomada, son siempre directamente proporcionales, con lo cual los cocientes de dichos valores siempre será una constante. Esto nos permite construir proporciones, para calcular los porcentajes.
Ejemplo:
Tomemos el  25% de distintas cantidades.


Luego, podemos construir las proporciones  para calcular los porcentajes:


VEAMOS LOS DIFERENTES PROBLEMAS DE PORCENTAJES, QUE SE PUEDEN PRESENTAR:


CÁLCULO DEL TOTAL, CONOCIENDO LA PARTE:


Si como datos no conocemos el total, y sabemos la parte asociada a determinado porcentaje. ¿Cómo hallaremos el total?
Para entenderlo mejor, vamos a explicarlo a través de un ejemplo numérico.
Ejemplo:
Hoy han faltado en un salón de clases 6 alumnos de matemáticas, lo que supone un 15 % del total. ¿Cuántos alumnos hay en  total del aula?
Solución:
Lo que haremos es formar la proporción, del enunciado del problema.


CALCULO DEL PORCENTAJE, CONOCIENDO LA PARTE Y EL TOTAL:


Conociendo el total, se ha tomado una parte determinada, ¿Qué porcentaje se habrá tomado?
Ejemplo:
En las últimas elecciones presidenciales, de un censo de 24500 personas, el presidente actual recibió votos de 19500 ciudadanos. ¿Qué porcentaje de votantes apoyo al presidente electo?
Solución:

Luego; el presidente electo,  recibió el  79.59% de los votos a su favor.

AUMENTOS PORCENTUALES:


¿En que se convierte una cantidad tras ser aumentada a un cierto porcentaje?
Para poder  apreciarlo mejor la explicación, vayamos a un ejemplo numérico.
Ejemplo:
El coste de una portátil esta a 450 euros, si le incrementamos el margen de ganancia en un 30%. ¿A qué precio se venderá?
Solución:

Primer método:

Luego:
Precio venta de portátil = 450 euros + 135 = 585 

Segundo método:
Como el coste representa el 100%; al aumentar en un 30% de ganancia, el precio de venta representará el 130%, luego tenemos:


En conclusión:
Al aumentar una cantidad en un “a%”; equivale a calcular el “(100+a) % de dicha cantidad.

Ejemplo 2:
Una camisa cuesta 54 euros  tras sufrir una subida del 15% ¿Cuántos costaba antes de la subida?
Solución:

DISMINUCIONES  PORCENTUALES:

¿En que se convierte una cantidad, tras ser disminuida un cierto porcentaje?
Vayamos a un ejemplo numérico, para que se entienda mejor la explicación.
Ejemplo:
En un centro comercial se, se anuncia la rebaja del 20% en todos sus artículos. ¿Cuál será el precio rebajado de una camisa, que se exponer en el escaparate a 65 ?
Solución:
Primer método:


Segundo método:
Como el coste representa el 100%; al disminuir en un 20% de ganancia, el precio de venta representará el 80%, luego tenemos:


En conclusión:
Al disminuir una cantidad en “a%”, equivale a calcular el (100 – a) % de dicha cantidad.

DESCUENTOS SUCESIVOS:


Hay que tomar en cuenta; que cada descuento se hace sobre lo que ha quedado, después del descuento anterior.
Ejemplo:
Un producto valorado en 600, ha sufrido dos descuentos sucesivos del 30%, y 20%. ¿A qué único descuento equivale?
Solución:
1º descuento:


2º descuento:


Luego,  el valor del producto final es de 320.; Con lo cual, este valor representa:


Luego; el descuento sucesivo de 30%, y 20% equivale a un único descuento de:
100% – 56% = 44%

AUMENTOS SUCESIVOS:


Para los aumentos sucesivos, se procede de la forma similar de los descuentos sucesivos. Cada aumento se hace sobre lo que ha quedado, después del incremento anterior.
Ejemplo:
Un producto valorado en 800, ha sufrido dos aumentos  sucesivos del 20%, y 10% respectivamente. ¿A qué único aumento equivale?
Solución:
1º aumento:


2º aumento:


Luego,  el valor del producto final es de 1056.; Con lo cual, este valor representa:


Luego; el  aumento  sucesivo de 20%, y 10% equivale a un único aumento de:
132% – 100% = 32%

PROBLEMAS SOBRE PRECIOS DE COMPRA Y VENTA:


El porcentaje, tiene mucha aplicación en los problemas de precio de venta o de compra, que se presenta en la vida diaria.
Para ello, vamos a definir algunos conceptos básicos que debemos de conocer:
Precio de compra (Pc): Es el valor que se adquiere o se compra de una mercadería.
Precio de venta (Pv): Es el valor que se vende, de una mercadería.
Ganancia o beneficio (g): Es la diferencia entre el Pv – Pc; es decir: g = Pv – Pc
Pérdida (p): Es la diferencia entre el Pc – Pv; es decir: p = Pc – Pv

Casos que se presentan:

HALLAR EL PRECIO DE VENTA, CONOCIENDO EL % DE GANANCIA O PÉRDIDA:

Ejemplo:
Ana ha ganado 5400 al vender un terreno con el 30% de ganancia. ¿Cuál es el precio de venta?
Solución:
Del enunciado deducimos que la ganancia g= 5400.
Sabemos que:  g=30%del Pc
Es decir:


Luego:


HALLAR EL PRECIO DE COMPRA, CONOCIENDO EL % DE LA GANANCIA O PÉRDIDA:

Ejemplo:
José vende su auto por 6000, perdiendo un 40%. Hallar el precio de compra y la pérdida?
Solución:
Sabemos:
 Pv = Pc – p …………..(1)
Del enunciado, deducimos que:


Luego, reemplazando la expresión (2), en (1) tenemos:


Luego para calcular la pérdida, reemplazamos el valor del PC=10000 euros, en la expresión (2)


HALLAR EL PORCENTAJE DE LA GANANCIA O PÉRDIDA, CONOCIENDO EL PRECIO DE VENTA, Y EL PRECIO DE COSTO:


En este caso, de los datos deducimos la ganancia o pérdida, y luego se plante la proporción, buscando el porcentaje del precio de compra.
Ejemplo:
Juan compro un televisor por 650 euros, y lo vendió por 520 . Hallar el porcentaje de pérdida.
Sabemos que:  Pérdida = Pc – Pv
Luego:
Pérdida = 650 – 520  = 130 .
Ahora buscaremos, que % de 650, es 130 .
Luego:


Luego, la pérdida representa un 20% del precio de compra.

PROBLEMAS:

1.    Un artículo que costaba  86, ha subido un 16%. ¿Cuánto costará ahora?
2.    Un Cocina cuesta 680, tras sufrir una subida del 16%. ¿Cuánto costaba antes de la subida?
3.   En un salón de clases hay 38 entre alumnos, y alumnas, Hoy han faltado 5 alumnos. ¿Cuál es porcentaje de ausencias?
4.   En un pueblo de 8600 habitantes, el 78% están contentos con la gestión municipal. ¿Cuántos ciudadanos se sienten satisfechos con el ayuntamiento?
5.   Una fabrica que se dedica a la exportación de baldosas, tenía hace 6 años 325 trabajadores. Con la crisis económica, ha tenido que reducir  en un 20% la plantilla de  sus trabajadores, para hacer frente a situación económica. ¿Cuántos trabajadores tienen actualmente?
6.  Un informático ganaba 1500 en el mes de mayo, después de titularse en su universidad, recibió un aumento de 30% sobre su sueldo de mes de junio. ¿Cuál será su sueldo este mes?
7.   Un comerciante vende a 60 un lote de mercaderías, ofreciendo un aumento del 20% y luego un descuento del 20%. ¿Cuál es su precio final?
8.   Si el lado de un terreno cuadrado disminuye en un 25%, ¿En qué tanto por ciento, disminuye su área?
9.   A un cierto producto  valorado en 1800, se le hace dos descuentos sucesivos del 25%, y 20% respectivamente. ¿Cuál es el valor final del producto?
10.   Juan ha ganado 5300 al vender un  terreno, con el 25% de ganancia. ¿Cuál es su precio de venta?
11.   Víctor compra un coche por 5600, y lo vende por 7800 . Hallar el porcentaje de ganancia.
12.   Se ha vendido una refrigeradora por 750 , perdiendo el 20%. Hallar el precio de compra y la pérdida.

Clave de respuestas:
1)    99,76             2) 586,21                            3) 13,16%                            4) 6708 habitantes
5)   260 trabajadores         6) 1950                   7) 57,6                     8 ) disminuye 36%
9)  1080                  10)  26500            11)  39,29%
12)  Pc = 937,5   p = 187,5